状态压缩类型动态规划问题分析

在放置操作中，每一行有 w 个位置，因此每行状态可表示为 0 到 2^w - 1 的整数。 当前行的状态 s 由前一行状态 s' 转换而来。对于该行位置 j，状态转换规则如下： 若前一行位置 j 为 0，则该位置可以竖放，状态转换：0 -> 1 若前一行连续两个位置为 0，则这两个位置可以横放，状态转换：00 -> 00 若前一行位置 j 为 1，则该位置不可再放，状态转换：1 -> 0

在状态压缩类型的动态规划中，我们巧妙地利用二进制数来表示状态。以铺砖问题为例，我们可以将每一行的铺砖情况看作一个阶段的状态。 假设每一行有 w 个格子，我们可以用一个 w 位的二进制数来表示该行的状态。其中，1 表示该格子铺了砖，0 表示该格子未铺砖。 例如，二进制数 100 表示该行的第一个格子铺了砖，而第二和第三个格子未铺砖。 通过这种方式，我们可以将状态的转移转化为二进制数之间的转换。例如，状态 100 可以转移到 111, 100 或 110。

动态规划的 01 背包问题，属于那种一上手就觉得“啊原来是这么回事”的算法题。逻辑挺清晰的，方式也比较实用，适合练手也适合做项目里边的资源限制计算。你可以想象：有一堆物品，每个都有重量和价值，背包容量就那么大，你得想办法装出最高价值。用一个二维数组dp[i][j]去保存“前 i 个物品、容量 j”的最优解，一步步推就行了。嗯，思路有点像玩俄罗斯方块，放得好才值钱。

探索问题，开启算法之门 深入探讨“为什么讲这个问题” ，可以引导我们更好地理解搜索和动态规划算法。 这两种算法体现了“电脑”和“人脑”在解决问题上的差异： 电脑擅长快速枚举， 而人脑更倾向于总结规律， 找到最优解。 通过“回到起点”和“变换角度”的思考方式， 我们可以不断优化解题思路， 将复杂问题分解成可解决的子问题。 动态规划正是利用了这种思想， 通过记录子问题的解， 避免重复计算， 从而提高效率。

背包问题的核心在于优化值的计算和元素的取用策略。通过动态规划，可以有效解决这些问题。以下是具体步骤：1. 优化值：通过构建一个二维数组，利用递推公式计算每个背包容量下的最大价值。2. 元素取用：从最后一个元素开始，逆向查找已选元素，确定哪些物品被纳入背包。

使用 Python 实现动态规划算法 解决优化问题

搜索问题的套路讲多了，不如看看搜索和动态规划的本质对比。姚金宇老师那篇《从一个基本方法谈起》讲得挺清楚，没绕圈子，适合刚入门或者想回炉重造的你。 思路清晰的搜索策略，配上状态转移的DP 模板，多问题就能一锅端。像常见的迷宫路径、数字拆分这些题，用搜索暴力一点没关系，理解清楚了再优化成 DP，效率直接上来。 内容不厚重，篇幅控制得还不错。文里有不少例题，都是那种“看过就懂、敲一遍就记住”的类型。对思维模型构建蛮大的，不只是做题，思路也跟着练起来。 推荐你顺手也看看这个《搜索与动态规划的本质比较》，对比挺深入的。还有《搜索与动态规划：探究问题本质》，更偏思维训练，不只是讲技巧。 如果你对背后逻辑比

从上面的分析可以看出，动态规划可以被视为搜索的一种记忆化优化。动态规划通过保存搜索时重复计算的状态，以空间换取时间。记忆化搜索通常是自顶向下求解，而我们通常编写的动态规划则是自底向上的方法。因此，动态规划本质上是记忆化搜索的一种非递归形式。

动态规划初探及其应用案例.pdf