俄罗斯数学教材选译线性空间引论

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俄罗斯方块是一款经典游戏，玩家通过箭头键移动方块，用z和x键旋转，按p键暂停。玩家的最高分已达2680分。在人工智能对战中，计算机选择落地后格挡值最大的策略，考虑到多种因素如接触墙壁或方块的边数、方块的平均高度，甚至惩罚间隙、奖励完整行。标准配置下，AI表现如下：平均分1733（160行），最差260分（26行），最佳8080分（748行）。俄罗斯方块与人工智能的对抗展示了技术在游戏设计中的深远影响。

线性空间：概念与定义 集合与运算的结合构成了数学的基石，而线性空间则是这种结合的典范体现。线性空间的概念将向量加法和标量乘法抽象出来，为我们提供了一个研究向量和其性质的通用框架。 定义 一个线性空间 V 是一个非空集合，其元素被称为向量，并定义了两种运算： 向量加法: 对于任意 α，β ∈ V，存在唯一的向量 α + β ∈ V，称为 α 和 β 的和。 标量乘法: 对于任意标量 λ ∈ F (F 是一个数域) 和向量 α ∈ V，存在唯一的向量 λα ∈ V。 这些运算满足以下公理： 向量加法: 结合律: (α + β) + γ = α + (β + γ) 交换律: α + β = β

你知道《Elementary Linear Algebra 6th Edition》这本书吗？它挺适合刚接触线性代数的同学，尤其是如果你理解数学背后的真正逻辑。这本书的亮点是作者把理论和实际应用结合得相当好。你不仅能学到坚实的理论知识，还能看到多实际例子和几何直觉你深入理解。比如，书里新增的 Capstone 练习，让你在每一部分都有多个概念的反复练习，有用。设计上也做了不少调整，阅读体验比以前好多。如果你还没看过这本书，强烈建议你看看，挺值得的。哦，对了，书里的数据和应用也更新了，贴近现在的统计数据，能你将理论和实际应用更好地连接起来。

在三维空间中，共线和共面等关系可以推广到线性空间中的线性相关性。对于线性空间 V，向量集合 S 被称为线性相关，如果存在向量 α1，α2，...，αk 和非零标量 λ1，λ2，...，λk 使得 λ1α1 + λ2α2 +...+ λkαk = 0。线性无关的向量集合是指不存在这样的线性组合。

本节讨论数域 F 上的 n 维线性空间 V 的斜对称双线性函数。斜对称双线性函数满足以下性质： 对于任意向量 α ∈ V，f(α, α) = 0。 f(α, β) 在 V 的基下的方阵是斜对称的。 V 中向量关于 f(α, β) 的正交性是对称的。 斜对称双线性函数与斜对称方阵之间存在双射。 进一步，我们给出了斜对称双线性函数的准对角形形式，并证明了其秩与准对角形中非零块的数量之间的关系。

矩阵的加减法类似于纯量的加减，要求矩阵必须具有相同的维度。例如，在MATLAB中，可以直接对矩阵和纯量进行加减运算，系统会逐元素应用加减操作。例如，定义矩阵A和纯量5进行加法操作后得到新矩阵A = [6 7 8 7 6]。另外，可以将不同维度的矩阵和纯量进行加减运算。