伴随变换

§7.3讨论Euclid空间V中的线性函数及其定义。一个实函数f(α)，其中α ∈ V，如果对所有λ， λ ∈ R和α， α ∈ V，满足f(λα + λα) = λ f(α) + λ f(α)，则称其为V上的线性函数。例如，对于定向量β ∈ V，内积(α， β)也是V上的线性函数，记作fβ(α)。进一步，如果f(α)是V上的线性函数，则f() = 。对于任意λ， λ， . . . ， λk ∈ R和α， α， . . . ， αk ∈ V，有f( k ∑ j= λ jα j) = k ∑ j= λ j f(α j)。记Euclid空间V上所有线性函数的

自伴变换与斜自伴变换 除了正交变换，欧氏空间中还有两类重要的规范变换：自伴变换和斜自伴变换。 定义 设 A 是 n 维欧氏空间 V 的线性变换。 如果 A 与它的伴随变换 A∗ 相同，即 A = A∗，则 A 称为自伴变换。 如果 A 满足 A∗ = −A，则 A 称为斜自伴变换。 线性变换 A 是自伴变换的充分必要条件是：对任意 α，β ∈ V，均有 (A(α), β) = (α, A(β))。 线性变换 A 是斜自伴变换的充分必要条件是：对任意 α，β ∈ V，均有 (A(α), β) = −(α, A(β))。 自伴变换和斜自伴变换都是规范变换。当然，除了正交变换、自伴变换以及斜自伴

介绍了一种基于快速傅里叶变换（FFT）的一维连续小波变换方法。该方法通过调用 MATLAB 中的 cwtft 函数实现。文章还展示了可视化界面截图和提供测试数据的路径。

任意y，如果学生95002选修了y，那么学生x也选修了y。不存在这样的课程y，学生95002选修了y，而学生x没有选。

线性代数里讲线性变换，想搞清楚它背后的“伴随”逻辑，这份资源还挺值得一看的。伴随算子、对偶空间这些听起来玄，但其实看懂它的定义和性质就豁然开朗了。像是(στ)× = τ×σ×这种恒等关系，拿来推导挺顺手的，写证明题效率直接翻倍。 内容虽然偏理论，但讲得还算清晰。每条后面都有推导过程，像(τ−¹)× = (τ×)−¹这种，证明步骤也有给出。要是你最近刚好在啃线性代数，尤其是搞线性变换和对偶空间这些章节，蛮推荐顺一下这篇资料。 顺便附几篇扩展阅读，像直接线性变换求解器和Matlab 实现直接线性变换，都是比较实用的延伸，动手能力强的同学别错过。

MATLAB中，lifting小波变换是一种有效的信号处理技术，常用于信号压缩和特征提取。

这段代码使用Matlab进行图像处理，重点介绍了傅里叶正反变换及其频域表示，以及实现理想方形低通滤波器和Butterworth滤波器。编写过程充满挑战，因为长时间未使用Matlab，开始时不免有些混淆，甚至中途不经意间开始写Python！最终幸运地完成了这一任务，也成为全班第一完成者。

正交变换保持向量的范数不变，即保持长度不变。单位变换是正交变换，正交变换关于子空间的反射称为反射变换。正交变换满足以下等价命题：保内积、正交基映射、正交方阵表述、规范变换和逆为共轭转置。

深入浅出地讲解图像傅里叶变换，并利用 MATLAB 代码进行实例演示。

这是一个使用Matlab语言实现小波变换的程序。